Class 10 Mathematics – Important Questions with Answers
Real Numbers & Polynomials | Board Exam Ready Notes
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📘 Very Important Board Questions
इस पोस्ट में Class 10 Mathematics Important Questions with Answers दिए गए हैं, जो Real Numbers और Polynomials अध्याय से Board Exam 2026 के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। इसमें अपरिमेय संख्याओं के प्रमाण, HCF–LCM, शांत व अशांत दशमलव, तथा बहुपदों के शून्यकों से जुड़े प्रश्न सरल एवं परीक्षा-उपयोगी भाषा में समझाए गए हैं। यह पोस्ट CBSE, UP Board एवं अन्य State Boards के छात्रों के लिए Revision Notes के रूप में बहुत उपयोगी है।
Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans: मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है।
तब
$$ \sqrt{5}=\frac{a}{b} $$
जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा उनके बीच 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$$ a^2 = 5b^2 \quad ...(1) $$
समीकरण (1) से स्पष्ट है कि a², 5 से विभाज्य है।
अतः a भी 5 से विभाज्य होगा।
मान लें
$$ a = 5k $$
जहाँ k एक पूर्णांक है।
समीकरण (1) में a का मान रखने पर
$$ 25k^2 = 5b^2 $$
या
$$ b^2 = 5k^2 $$
इससे b भी 5 से विभाज्य सिद्ध होता है।
अतः a और b दोनों 5 से विभाज्य हैं,
जो हमारी इस धारणा के विरुद्ध है कि उनके बीच 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ।
अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Q2. सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans: मान लीजिए कि √3 एक परिमेय संख्या है।
तब
$$ \sqrt{3}=\frac{a}{b} $$
जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
इससे √3 को परिमेय मान लिया गया,
परंतु हम जानते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण हुआ।
अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है।
Q3. 96 और 404 का HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए।
Ans:
$$ 96=2^5 \times 3 $$
$$ 404=2^2 \times 101 $$
सामान्य अभाज्य गुणनखंड \(2^2\) है।
अतः
$$ \text{HCF}=4 $$
और सभी उच्च घातों का गुणनफल
$$ \text{LCM}=2^5 \times 3 \times 101=9696 $$
Q4. क्या π कभी 0 पर समाप्त हो सकती है?
Ans: π एक अपरिमेय संख्या है।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनंत तथा गैर-आवर्ती होता है।
इसलिए π का दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं हो सकता।
अतः π कभी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।
Q5. सिद्ध कीजिए कि 4 एक भाज्य संख्या है।
Ans: 4 के गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।
चूँकि इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं,
इसलिए 4 एक भाज्य संख्या है।
Q6. 156 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
Ans:
156 को अभाज्य संख्याओं से भाग देने पर
$$ 156=2^2 \times 3 \times 13 $$
Q7. बिना भाग विधि के बताइए कि 13/3125 शांत है या अशांत।
Ans:
$$ 3125=5^5 $$
हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 होने पर भिन्न शांत दशमलव होती है।
यहाँ हर में केवल 5 है,
अतः दी गई भिन्न एक शांत (समाप्त) दशमलव है।
Q8. यदि दो संख्याओं का HCF 9 है तथा संख्याएँ 306 और 657 हैं, तो LCM ज्ञात कीजिए।
Ans:
दो संख्याओं के लिए
$$ \text{LCM} \times \text{HCF} = a \times b $$
अतः
$$ \text{LCM}=\frac{306 \times 657}{9}=22338 $$
Q9. Sonia और Ravi वृत्ताकार पथ पर चलते हैं। वे पुनः कब मिलेंगे?
Ans: Sonia एक चक्कर 18 मिनट में और Ravi 12 मिनट में लगाते हैं।
वे पुनः तब मिलेंगे जब दोनों पूर्ण चक्कर पूरे करेंगे।
$$ \text{LCM}(18,12)=36 $$
अतः वे 36 मिनट बाद पुनः मिलेंगे।
Q10. x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans:
$$ x^2+7x+10=x2+5x+2x+10=(x+5)(x+2) $$
अतः दिए गए बहुपद के शून्यक −5 और −2 हैं।
Q11. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans: मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है।
तब
$$ \sqrt{5}=\frac{a}{b} $$
जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
क्योंकि a और b पूर्णांक हैं,
इसलिए \( \frac{a}{b} \) एक परिमेय संख्या है।
अतः √5 भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परंतु हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ।
अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Q12. सिद्ध कीजिए कि √7 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans: मान लीजिए कि √7 एक परिमेय संख्या है।
तब
$$ \sqrt{7}=\frac{a}{b} $$
जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
क्योंकि a और b पूर्णांक हैं,
इसलिए \( \frac{a}{b} \) एक परिमेय संख्या है।
परंतु √7 एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण हुआ।
अतः √7 एक अपरिमेय संख्या है।
