Quadratic Polynomials Class 10 Important Questions
इस पोस्ट में Class 10 Maths के द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomials) अध्याय से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्नों को सरल और चरणबद्ध (step-by-step) तरीके से समझाया गया है। इसमें शून्यकों पर आधारित MCQ, वर्णनात्मक प्रश्न, NCERT Exemplar और बोर्ड परीक्षा में पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण सवाल शामिल हैं। यह content exam-oriented है
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| Quadratic Polynomials important Questions |
प्रश्न 10.
यदि द्विघात बहुपद \( x^2 + (a + 1)x + b \) के शून्यक 2 और −3 हैं, तो:
(a) \( a = -7, b = -1 \)
(b) \( a = 5, b = -1 \)
(c) \( a = 2, b = -6 \)
(d) \( a = 0, b = -6 \)
हल:
दिया है, द्विघात बहुपद \( f(x) = x^2 + (a + 1)x + b \) के शून्यक 2 और −3 हैं।
∴ \( f(2) = 0 \) तथा \( f(-3) = 0 \)
⇒ \( f(2) = (2)^2 + (a + 1)(2) + b = 0 \)
⇒ \( 4 + 2a + 2 + b = 0 \)
⇒ \( 2a + b = -6 \) …(1)
⇒ \( f(-3) = (-3)^2 + (a + 1)(-3) + b = 0 \)
⇒ \( 9 - 3a - 3 + b = 0 \)
⇒ \( 3a - b = 6 \) …(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
⇒ \( 5a = 0 \Rightarrow a = 0 \)
\( a = 0 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ \( 2(0) + b = -6 \Rightarrow b = -6 \)
अतः \( a = 0 \) तथा \( b = -6 \)
अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 11.
शून्यक −3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है:
(a) \( x^2 - x + 12 \)
(b) \( x^2 + x + 12 \)
(c) \( \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6 \)
(d) \( 2x^2 + 2x - 24 \)
हल:
दिए गए शून्यक −3 और 4 हैं।
शून्यकों का योग = \( -3 + 4 = 1 \)
शून्यकों का गुणनफल = \( -3 \times 4 = -12 \)
अभीष्ट द्विघात बहुपद \( = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})] \)
⇒ \( k[x^2 - 1x - 12] \)
हम जानते हैं कि किसी बहुपद को किसी भी संख्या से गुणा या भाग करने पर उसके शून्यकों में परिवर्तन नहीं होता।
⇒ \( \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6 \) (जहाँ \( k = \frac{1}{2} \))
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 12.
शून्यक −2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है:
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 3 से अधिक
हल:
माना अभीष्ट बहुपद \( p(x) = ax^2 + bx + c \) है, जिसके शून्यक −2 और 5 हैं।
शून्यकों का योग = \( -\frac{b}{a} \)
⇒ \( -\frac{b}{a} = -2 + 5 = 3 \) …(1)
शून्यकों का गुणनफल = \( \frac{c}{a} \)
⇒ \( \frac{c}{a} = -2 \times 5 = -10 \) …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से, \( a = 1,\; b = -3 \) तथा \( c = -10 \)
∴ \( p(x) = ax^2 + bx + c \)
⇒ \( p(x) = 1\cdot x^2 - 3x - 10 \)
⇒ \( p(x) = x^2 - 3x - 10 \)
यदि हम किसी बहुपद में किसी अचर द्वारा गुणा/भाग करते हैं, तब बहुपद के शून्यक कभी भी परिवर्तित नहीं होते हैं।
∴ \( p(x) = kx^2 - 3kx - 10k \) [जहाँ \( k \) एक वास्तविक संख्या है]
⇒ \( p(x) = \frac{x^2}{k} - \frac{3x}{k} - \frac{10}{k} \) [जहाँ \( k \) एक अशून्य वास्तविक संख्या है]
अतः अभीष्ट बहुपदों की संख्या अनन्त अर्थात 3 से अधिक है।
अतः विकल्प (d) सही है।
अतिलघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर (2 अंक)
प्रश्न 1.
यदि द्विघात बहुपद \( (p - 1)x^2 + px + 1 \) के शून्यकों में से एक शून्यक −3 है, तो दूसरे शून्यक का मान ज्ञात कीजिए।
[2019; NCERT EXEMPLAR]
अथवा यदि द्विघात बहुपद \( (p - 1)x^2 + px + 1 \) का एक शून्यक −3 है, तो \( p \) का मान ज्ञात कीजिए।
[2025 CA]
हल:
एक वास्तविक संख्या \( \alpha \) को किसी बहुपद \( p(x) = ax^2 + bx + c \) का शून्यक कहा जाता है यदि \( p(\alpha) = a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \) ।
माना द्विघात बहुपद, \( f(x) = (p - 1)x^2 + px + 1 \)
दिया है, द्विघात बहुपद \( f(x) \) का एक शून्यक −3 है।
⇒ \( (p - 1)(-3)^2 + p(-3) + 1 = 0 \)
⇒ \( 9(p - 1) - 3p + 1 = 0 \)
⇒ \( 9p - 9 - 3p + 1 = 0 \)
⇒ \( 6p = 8 \Rightarrow p = \frac{4}{3} \)
\( p \) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( f(x) = \left(\frac{4}{3} - 1\right)x^2 + \frac{4}{3}x + 1 \)
⇒ \( \frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1 \)
⇒ \( \frac{1}{3}(x^2 + 4x + 3) \)
⇒ \( \frac{1}{3}(x^2 + 3x + x + 3) \)
⇒ \( \frac{1}{3}\{x(x + 3) + 1(x + 3)\} \)
⇒ \( \frac{1}{3}(x + 1)(x + 3) \)
अब जब \( f(x) = \frac{1}{3}(x + 1)(x + 3) = 0 \)
तब \( (x + 1)(x + 3) = 0 \)
अर्थात् या तो \( x + 1 = 0 \) या \( x + 3 = 0 \)
⇒ यदि \( x + 1 = 0 \) तब \( x = -1 \)
अतः बहुपद का दूसरा शून्यक −1 है।
प्रश्न 2.
यदि बहुपद \( f(x) = x^2 - 5x + k \) के शून्यक \( \alpha \) तथा \( \beta \) इस प्रकार हों कि \( \alpha - \beta = 1 \), तो \( k \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \( \alpha \) तथा \( \beta \), बहुपद \( f(x) = x^2 - 5x + k \) के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग \( = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}} \)
⇒ \( \alpha + \beta = -\left(\frac{-5}{1}\right) = 5 \)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}} \)
⇒ \( \alpha\beta = \frac{k}{1} = k \)
अब दिया है, \( \alpha - \beta = 1 \)
⇒ \( (\alpha - \beta)^2 = 1 \)
\( (\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha\beta \)
⇒ \( (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1 \)
⇒ \( (5)^2 - 4k = 1 \)
⇒ \( 25 - 4k = 1 \)
⇒ \( 4k = 24 \)
⇒ \( k = 6 \)
अतः \( k = 6 \)
