बहुपद (Polynomials) – शून्यक, ग्राफ व विविक्तकर | कक्षा 10 गणित

📘 Chapter – 02 : बहुपद (Polynomials)

बहुपद :
ऐसे बीजीय व्यंजक, जिनमें चर राशियाँ केवल ऋणात्मक पूर्णांक (धनात्मक तथा शून्य) घात के रूप में हों, बहुपद कहलाते हैं।

\( a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_nx^n \)

बहुपद (Polynomials) – शून्यक, ग्राफ व विविक्तकर 

जहाँ \(a_0, a_1, a_2, \dots , a_n\) वास्तविक संख्याएँ हैं, \(a_n \neq 0\) तथा \(n\) एक ऋणरहित पूर्णांक (non-negative integer) है।

बहुपद की घात :
किसी बहुपद में चर राशि की उच्चतम घात वाले पद की घात को उस बहुपद की घात कहते हैं।

बहुपद का मान :
यदि \(x\) में \(p(x)\) एक बहुपद तथा \(a\) एक वास्तविक संख्या है, तो \(p(x)\) में \(x = a\) रखने पर प्राप्त मान को \(x = a\) पर बहुपद \(p(x)\) का मान कहते हैं।

बहुपद के शून्यक :
एक वास्तविक संख्या \(k\) को किसी बहुपद \(f(x)\) का शून्यक कहते हैं, यदि

\( f(k) = 0 \)

\(n\) घात के बहुपद के अधिक-से-अधिक \(n\) शून्यक हो सकते हैं।

बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ :
जब भी कोई वक्र X-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, तो उस बिंदु / बिंदुओं का x-निर्देशांक वक्र का / के शून्यक होते हैं।

बहुपद का ग्राफ :
द्विघातीय बहुपद \(ax^2 + bx + c\) का ग्राफ ‘U-आकार’ का होता है, इसे परवलय कहते हैं।

महत्वपूर्ण तथ्य :
• एक शून्यतर अचर बहुपद का कोई शून्यक नहीं होता है।
• शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती है।
• \(n\) घात वाले बहुपद में अधिकतम \(n\) शून्यक हो सकते हैं।

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द्विघातीय बहुपद का विविक्तकर :
यदि द्विघातीय बहुपद \[ f(x)=ax^2+bx+c \] हो, तो \[ D=b^2-4ac \] को बहुपद का विविक्तकर कहते हैं।
जहाँ \(D \ge 0\)

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध (Class 10)

द्विघातीय बहुपद

ax² + bx + c, a ≠ 0

यदि α और β दो शून्यक हैं, तब –

शून्यकों का योग

$$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $$

शून्यकों का गुणनफल

$$ \alpha\beta = \frac{c}{a} $$

शून्यकों से द्विघात बहुपद

$$ k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta] $$

जहाँ k एक स्थिरांक है।

त्रिघातीय बहुपद

ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0

यदि α, β तथा γ तीन शून्यक हैं, तब –

शून्यकों का योग

$$ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} $$

दो-दो शून्यकों के गुणन का योग

$$ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} $$

शून्यकों का गुणनफल

$$ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} $$

शून्यकों से त्रिघात बहुपद

$$ k[x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma] $$

जहाँ k एक स्थिरांक है।