UP Board Class 10 Maths – Paper 3
Section B (Descriptive Questions) | Step-by-Step Solutions
इस पोस्ट में UP Board Class 10 Mathematics – Paper 3 के
खण्ड–‘ब’ (वर्णनात्मक प्रश्न) दिए गए हैं।
सभी उत्तर पूरे, book-type और MathJax format में
बोर्ड परीक्षा की कॉपी-जाँच के अनुसार लिखे गए हैं।
खण्ड – ‘ब’ (वर्णनात्मक प्रश्न)
1.(क) एक लम्बवृतीय शंकु की ऊँचाई 48 सेमी तथा आधार का व्यास 28 सेमी है।
शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
ऊँचाई \( h = 48 \) सेमी
व्यास = 28 सेमी ⇒ त्रिज्या \( r = 14 \) सेमी
शंकु के आयतन का सूत्र:
\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \] मान रखने पर:
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14^2 \times 48 \] \[ V = 9856 \]
उत्तर: शंकु का आयतन = 9856 घन सेमी
दिया है:
ऊँचाई \( h = 48 \) सेमी
व्यास = 28 सेमी ⇒ त्रिज्या \( r = 14 \) सेमी
शंकु के आयतन का सूत्र:
\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \] मान रखने पर:
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14^2 \times 48 \] \[ V = 9856 \]
उत्तर: शंकु का आयतन = 9856 घन सेमी
1.(ख) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए।
हल:
\[ 96 = 2^5 \times 3 \] \[ 404 = 2^2 \times 101 \] सामान्य अभाज्य गुणनखण्ड: \[ 2^2 \]
उत्तर: HCF = 4
\[ 96 = 2^5 \times 3 \] \[ 404 = 2^2 \times 101 \] सामान्य अभाज्य गुणनखण्ड: \[ 2^2 \]
उत्तर: HCF = 4
1.(ग) बिन्दुओं (−1, 7) और (4, −3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को
2 : 3 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
A(x₁, y₁) = (−1, 7), B(x₂, y₂) = (4, −3)
अनुपात = 2 : 3
विभाजन का सूत्र:
यदि बिन्दु P रेखाखण्ड AB को m : n के अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करता है, तो उसके निर्देशांक होंगे— \[ P\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
मान रखने पर:
यहाँ m = 2, n = 3
\[ x = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = 1 \] \[ y = \frac{2(-3) + 3(7)}{2+3} = \frac{-6 + 21}{5} = 3 \]
उत्तर: विभाजन बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3)
दिया है:
A(x₁, y₁) = (−1, 7), B(x₂, y₂) = (4, −3)
अनुपात = 2 : 3
विभाजन का सूत्र:
यदि बिन्दु P रेखाखण्ड AB को m : n के अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करता है, तो उसके निर्देशांक होंगे— \[ P\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
मान रखने पर:
यहाँ m = 2, n = 3
\[ x = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = 1 \] \[ y = \frac{2(-3) + 3(7)}{2+3} = \frac{-6 + 21}{5} = 3 \]
उत्तर: विभाजन बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3)
1.(घ) यदि sin α = 1/2 और cos β = 1/2 हो तो (α + β) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ \] \[ \cos \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ \] \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
उत्तर: \(90^\circ\)
\[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ \] \[ \cos \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ \] \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
उत्तर: \(90^\circ\)
1.(ङ) बिन्दु P(−6, 8) की मूलबिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दूरी सूत्र: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] मान रखने पर: \[ d = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
उत्तर: दूरी = 10 इकाई
दूरी सूत्र: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] मान रखने पर: \[ d = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
उत्तर: दूरी = 10 इकाई
1.(च) सिद्ध कीजिए कि:
\[ \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A} = \frac{\cosec A - 1}{\cosec A + 1} \]
\[ \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A} = \frac{\cosec A - 1}{\cosec A + 1} \]
हल:
LHS से प्रारम्भ करते हैं:
\[ \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A} \] cot A का मान रखने पर: \[ = \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A} + \cos A} \] ऊपर और नीचे \(\cos A\) common लेने पर: \[ = \frac{\cos A\left(\frac{1}{\sin A} - 1\right)} {\cos A\left(\frac{1}{\sin A} + 1\right)} \] \(\cos A\) से भाग देने पर: \[ = \frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}} {\frac{1+\sin A}{\sin A}} \] \[ = \frac{1-\sin A}{1+\sin A} \]
अब RHS देखें:
\[ \frac{cosec A - 1}{cosec A + 1} \] cosec A का मान रखने पर: \[ = \frac{\frac{1}{\sin A} - 1}{\frac{1}{\sin A} + 1} \] \[ = \frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}} {\frac{1+\sin A}{\sin A}} \] \[ = \frac{1-\sin A}{1+\sin A} \]
अतः LHS = RHS, सिद्ध हुआ।
LHS से प्रारम्भ करते हैं:
\[ \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A} \] cot A का मान रखने पर: \[ = \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A} + \cos A} \] ऊपर और नीचे \(\cos A\) common लेने पर: \[ = \frac{\cos A\left(\frac{1}{\sin A} - 1\right)} {\cos A\left(\frac{1}{\sin A} + 1\right)} \] \(\cos A\) से भाग देने पर: \[ = \frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}} {\frac{1+\sin A}{\sin A}} \] \[ = \frac{1-\sin A}{1+\sin A} \]
अब RHS देखें:
\[ \frac{cosec A - 1}{cosec A + 1} \] cosec A का मान रखने पर: \[ = \frac{\frac{1}{\sin A} - 1}{\frac{1}{\sin A} + 1} \] \[ = \frac{\frac{1-\sin A}{\sin A}} {\frac{1+\sin A}{\sin A}} \] \[ = \frac{1-\sin A}{1+\sin A} \]
अतः LHS = RHS, सिद्ध हुआ।
प्रश्न 2. किसी पाँच खण्डों को हल कीजिए—
2.(क) किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।
इसका सार्व-अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
A.P. के nवें पद का सूत्र: \[ a_n = a + (n-1)d \] अतः, \[ a_{17} = a + 16d,\quad a_{10} = a + 9d \] दिया है: \[ a + 16d = a + 9d + 7 \] \[ 7d = 7 \Rightarrow d = 1 \]
उत्तर: सार्व-अन्तर = 1
A.P. के nवें पद का सूत्र: \[ a_n = a + (n-1)d \] अतः, \[ a_{17} = a + 16d,\quad a_{10} = a + 9d \] दिया है: \[ a + 16d = a + 9d + 7 \] \[ 7d = 7 \Rightarrow d = 1 \]
उत्तर: सार्व-अन्तर = 1
2.(ख) समीकरण
\[
\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0
\]
के मूल गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण है:
\[ \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \]
चरण 1: पूरे समीकरण को \(\sqrt{2}\) से भाग देते हैं: \[ x^2 + \frac{7}{\sqrt{2}}x + 5 = 0 \]
चरण 2: मध्य पद को दो भागों में तोड़ते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(5\) हो और योग \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) हो।
वे संख्याएँ हैं: \[ \frac{5}{\sqrt{2}} \quad \text{और} \quad \frac{2}{\sqrt{2}} \]
चरण 3: मध्य पद को तोड़कर लिखते हैं: \[ x^2 + \frac{5}{\sqrt{2}}x + \frac{2}{\sqrt{2}}x + 5 = 0 \]
चरण 4: समूह बनाकर गुणनखण्ड करते हैं: \[ x\left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) + \sqrt{2}\left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) = 0 \] \[ \left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) \left(x + \sqrt{2}\right) = 0 \]
चरण 5: प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य के बराबर रखते हैं: \[ x + \frac{5}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \] \[ x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = -\sqrt{2} \]
उत्तर: समीकरण के मूल हैं \[ x = -\sqrt{2}, \quad x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \]
दिया गया समीकरण है:
\[ \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \]
चरण 1: पूरे समीकरण को \(\sqrt{2}\) से भाग देते हैं: \[ x^2 + \frac{7}{\sqrt{2}}x + 5 = 0 \]
चरण 2: मध्य पद को दो भागों में तोड़ते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(5\) हो और योग \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) हो।
वे संख्याएँ हैं: \[ \frac{5}{\sqrt{2}} \quad \text{और} \quad \frac{2}{\sqrt{2}} \]
चरण 3: मध्य पद को तोड़कर लिखते हैं: \[ x^2 + \frac{5}{\sqrt{2}}x + \frac{2}{\sqrt{2}}x + 5 = 0 \]
चरण 4: समूह बनाकर गुणनखण्ड करते हैं: \[ x\left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) + \sqrt{2}\left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) = 0 \] \[ \left(x + \frac{5}{\sqrt{2}}\right) \left(x + \sqrt{2}\right) = 0 \]
चरण 5: प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य के बराबर रखते हैं: \[ x + \frac{5}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \] \[ x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = -\sqrt{2} \]
उत्तर: समीकरण के मूल हैं \[ x = -\sqrt{2}, \quad x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \]
2.(ग) एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर D एक बिन्दु इस प्रकार है कि
∠ADC = ∠BAC।
सिद्ध कीजिए कि
\[
CA^2 = CB \times CD
\]
हल:
do your self for your knowledge
अतः सिद्ध हुआ।
do your self for your knowledge
अतः सिद्ध हुआ।
2.(घ) एक चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत खींचा गया है।
सिद्ध कीजिए कि
\[
AB + CD = AD + BC
\]
हल:
do your self for your knowledge
अतः सिद्ध हुआ।
do your self for your knowledge
अतः सिद्ध हुआ।
2.(ङ) यदि दिए गए आवृत्ति वितरण का माध्यक 28.5 है
और कुल प्रेक्षण \(n = 60\) हैं, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
| वर्गान्तर | बारम्बारता |
|---|---|
| 0–10 | 5 |
| 10–20 | x |
| 20–30 | 20 |
| 30–40 | 15 |
| 40–50 | y |
| 50–60 | 5 |
हल:
माध्यक वर्ग = 20–30
\[ l = 20,\; h = 10,\; f = 20,\; cf = 5 + x \] माध्यक का सूत्र: \[ 28.5 = 20 + \frac{30-(5+x)}{20} \times 10 \] हल करने पर: \[ x = 10 \] अब कुल आवृत्ति: \[ 5 + 10 + 20 + 15 + y + 5 = 60 \Rightarrow y = 5 \]
उत्तर: x = 10, y = 5
माध्यक वर्ग = 20–30
\[ l = 20,\; h = 10,\; f = 20,\; cf = 5 + x \] माध्यक का सूत्र: \[ 28.5 = 20 + \frac{30-(5+x)}{20} \times 10 \] हल करने पर: \[ x = 10 \] अब कुल आवृत्ति: \[ 5 + 10 + 20 + 15 + y + 5 = 60 \Rightarrow y = 5 \]
उत्तर: x = 10, y = 5
2.(च) किसी कारण 12 खराब पेन, 132 अच्छे पेनो में मिल गए हैं।
एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है।
अच्छा पेन मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल पेन: \[ 132 + 12 = 144 \] अच्छे पेन = 132 \[ P(\text{good}) = \frac{132}{144} = \frac{11}{12} \]
उत्तर: \(\frac{11}{12}\)
कुल पेन: \[ 132 + 12 = 144 \] अच्छे पेन = 132 \[ P(\text{good}) = \frac{132}{144} = \frac{11}{12} \]
उत्तर: \(\frac{11}{12}\)
प्रश्न 3.
3.(i) एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है
और 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है।
भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
शर्त 1: \[ \frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3x - 3 \] शर्त 2: \[ \frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4x - 8 \] दोनों y के मान बराबर करने पर: \[ 3x - 3 = 4x - 8 \Rightarrow x = 5 \] \[ y = 3(5) - 3 = 12 \]
उत्तर: भिन्न = \(\frac{5}{12}\)
मान लें भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
शर्त 1: \[ \frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3x - 3 \] शर्त 2: \[ \frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = 4x - 8 \] दोनों y के मान बराबर करने पर: \[ 3x - 3 = 4x - 8 \Rightarrow x = 5 \] \[ y = 3(5) - 3 = 12 \]
उत्तर: भिन्न = \(\frac{5}{12}\)
3.(ii) एक विमान अपने निर्धारित समय से 30 मिनट की देरी से चलता है।
1500 किमी की दूरी समय पर तय करने के लिए उसे अपनी चाल
निर्धारित चाल से 250 किमी/घण्टा बढ़ानी पड़ती है।
विमान की सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें विमान की सामान्य चाल = \(x\) किमी/घण्टा
समय का अन्तर: \[ 30 \text{min} = \frac{1}{2} \text{ hour} \] अतः, \[ \frac{1500}{x} - \frac{1500}{x+250} = \frac{1}{2} \] हर हटाने पर: \[ 3000(x+250) - 3000x = x(x+250) \] हल करने पर: \[ x = 750 \]
उत्तर: विमान की सामान्य चाल = 750 किमी/घण्टा
मान लें विमान की सामान्य चाल = \(x\) किमी/घण्टा
समय का अन्तर: \[ 30 \text{min} = \frac{1}{2} \text{ hour} \] अतः, \[ \frac{1500}{x} - \frac{1500}{x+250} = \frac{1}{2} \] हर हटाने पर: \[ 3000(x+250) - 3000x = x(x+250) \] हल करने पर: \[ x = 750 \]
उत्तर: विमान की सामान्य चाल = 750 किमी/घण्टा
प्रश्न 4.
4.(i) एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान ऊँचाई वाले
दो खम्भे लगे हैं।
खम्भों के बीच सड़क पर स्थित किसी बिन्दु से
उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं।
खम्भों की ऊँचाई और दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें खम्भों की ऊँचाई = \(h\) मीटर
निकट खम्भे से दूरी = \(x\) मीटर
दूर खम्भे से दूरी = \(80 - x\) मीटर
\[ \tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3} \] \[ \tan 30^\circ = \frac{h}{80-x} \Rightarrow h = \frac{80-x}{\sqrt{3}} \] दोनों h बराबर करने पर: \[ x\sqrt{3} = \frac{80-x}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3x = 80 - x \Rightarrow x = 20 \] \[ h = 20\sqrt{3} \]
उत्तर: खम्भों की ऊँचाई = \(20\sqrt{3}\) मीटर निकट खम्भे से दूरी = 20 मीटर
मान लें खम्भों की ऊँचाई = \(h\) मीटर
निकट खम्भे से दूरी = \(x\) मीटर
दूर खम्भे से दूरी = \(80 - x\) मीटर
\[ \tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3} \] \[ \tan 30^\circ = \frac{h}{80-x} \Rightarrow h = \frac{80-x}{\sqrt{3}} \] दोनों h बराबर करने पर: \[ x\sqrt{3} = \frac{80-x}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3x = 80 - x \Rightarrow x = 20 \] \[ h = 20\sqrt{3} \]
उत्तर: खम्भों की ऊँचाई = \(20\sqrt{3}\) मीटर निकट खम्भे से दूरी = 20 मीटर
4.(ii) भूमि के एक बिन्दु से 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी
एक मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण
क्रमशः 45° और 60° हैं।
मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें भवन से बिन्दु की दूरी = \(x\) मीटर
\[ \tan 45^\circ = \frac{20}{x} \Rightarrow x = 20 \] अब, \[ \tan 60^\circ = \frac{20 + h}{20} \Rightarrow 20 + h = 20\sqrt{3} \] \[ h = 20(\sqrt{3}-1) \]
उत्तर: मीनार की ऊँचाई = \(20(\sqrt{3}-1)\) मीटर
मान लें भवन से बिन्दु की दूरी = \(x\) मीटर
\[ \tan 45^\circ = \frac{20}{x} \Rightarrow x = 20 \] अब, \[ \tan 60^\circ = \frac{20 + h}{20} \Rightarrow 20 + h = 20\sqrt{3} \] \[ h = 20(\sqrt{3}-1) \]
उत्तर: मीनार की ऊँचाई = \(20(\sqrt{3}-1)\) मीटर
प्रश्न 5.
5.(i) लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला
खोदकर निकालते हुए खिलौना बनाया गया है।
यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी और त्रिज्या 3.5 सेमी है,
तो खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 22/7)
हल:
दिया है:
त्रिज्या \(r = 3.5\) सेमी, ऊँचाई \(h = 10\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: \[ \text{TSA} = 2\pi rh + 4\pi r^2 \] \[ = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 10 + 4 \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \] \[ = 220 + 154 = 374 \]
उत्तर: सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 वर्ग सेमी
दिया है:
त्रिज्या \(r = 3.5\) सेमी, ऊँचाई \(h = 10\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: \[ \text{TSA} = 2\pi rh + 4\pi r^2 \] \[ = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 10 + 4 \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \] \[ = 220 + 154 = 374 \]
उत्तर: सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 वर्ग सेमी
5.(ii) एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े शंकु के आकार का है।
शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या 3 सेमी है।
ठोस की कुल ऊँचाई 6 सेमी है।
ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिज्या \(r = 3\) सेमी
शंकु की ऊँचाई = \(6 - 3 = 3\) सेमी
शंकु का आयतन: \[ V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h \] अर्धगोले का आयतन: \[ V_2 = \frac{2}{3}\pi r^3 \] कुल आयतन: \[ V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi(3)^2(3) + \frac{2}{3}\pi(3)^3 \] \[ V = 9\pi + 18\pi = 27\pi \]
उत्तर: ठोस का आयतन = \(27\pi\) घन सेमी
त्रिज्या \(r = 3\) सेमी
शंकु की ऊँचाई = \(6 - 3 = 3\) सेमी
शंकु का आयतन: \[ V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h \] अर्धगोले का आयतन: \[ V_2 = \frac{2}{3}\pi r^3 \] कुल आयतन: \[ V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi(3)^2(3) + \frac{2}{3}\pi(3)^3 \] \[ V = 9\pi + 18\pi = 27\pi \]
उत्तर: ठोस का आयतन = \(27\pi\) घन सेमी
